Почему нельзя считать колебания маятника волной?

Данный урок посвящен теме «Лабораторная работа “Исследование зависимости периода и частоты свободных колебаний математического маятника от его длины”».

Это практическое занятие позволит закрепить уже изученный ранее материал.

На этой лабораторной работе вы вместе с преподавателем проведете интересное исследование и выясните, как зависит период и частота свободных колебаний нитяного маятника от его длины.

Цель: выяснить, как зависит период и частота свободных колебаний математического маятника от его длины.

Оборудование: штатив с муфтой и лапкой, шарик с нитью, секундомер (рис. 1).

Рис. 1. Оборудование

Для выполнения работы нам потребуется таблица. Таблица будет состоять из следующих частей:

Величина/№	1	2	3	4	5
Длина (см)	5	20	45	80	125
Число колебаний	30	30	30	30	30
Время (с)
Период (с)
Частота (Гц)

Во-первых, нужно определить количество экспериментов. В данном случае их 5. По вертикали записаны те самые величины, которые мы будем измерять. В первую очередь, длина самого маятника в сантиметрах. Следующая величина – количество колебаний. Далее – полное время колебаний.

Следующие две графы – это период колебаний, который измеряется в секундах, и частота в Гц. Обратите внимание, что мы заранее записали те величины, которые будем использовать. В первую очередь, это длина нитяного маятника. Начальная длина: 5 см – это очень короткий маятник. Дальше 20, 45, 80 и 125.

 Число колебаний мы будем использовать постоянное. Это 30 колебаний. В каждом эксперименте мы будем использовать по 30 колебаний.

Соберем экспериментальную установку. Установка состоит из шарика на нити. Нить продернута через ластик. Это сделано для того, чтобы можно было регулировать его длину. Обратите внимание, что сам ластик укреплен в лапке штатива.

Рис. 2. Грузик на нити, закрепленный в штативе

Для измерения длины будем использовать линейку и секундомер. Итак, мы отсчитали 30 колебаний, и время, которое мы зарегистрировали, оказалось равным 13,2 с (рис. 3).

Рис. 3. Первый эксперимент с длиной нити 5 см

Заносим эти данные в таблицу и можем приступать к расчетам периода и частоты колебаний. Следующий шаг: увеличиваем длину маятника до 20 см. И весь эксперимент повторяем сначала. Вновь результаты заносим в таблицу. Итак, проведя наши эксперименты, мы получили конечные результаты и занесли их в таблицу.

Период колебаний:  (с). Частота колебаний:  (Гц), где  – это время, а  – количество колебаний, совершенных за время .

Обратите внимание: когда длина маятника составляла 5 см, 30 колебаний прошли за время 13,2 с. Период колебаний составил , а частота .

Следующий результат: те же 30 колебаний, но длина маятника была уже 20 см. В этом случае увеличилось время колебаний – 26,59 с, а период колебаний составил . Частота уменьшилась почти в 2 раза, обратите внимание: .

Если мы посмотрим на третий результат, то увидим, что длина маятника еще больше, период стал больше, а частота уменьшилась еще на некоторое значение. Следующий, четвертый и пятый, постарайтесь посчитать сами. Обратите внимание на то, как при этом будет меняться период и частота колебаний нашего нитяного маятника.

Для 4 и 5 экспериментов посчитайте частоту и период самостоятельно.

Величина/№	1	2	3	4	5
Длина (см)	5	20	45	80	125
Число колебаний	30	30	30	30	30
Время (с)	13,2	26,59	40,32	52,81	66,21
Период (с)	0,44	0,886	1,344
Частота (Гц)	2,27	1,128	0,744

Табл. 1. Значения частоты и периода для первых трех экспериментов

Можно сделать вывод: с увеличением длины маятника увеличивается период колебаний и уменьшается частота (рис. 4). Хотелось бы, чтобы четвертый и пятый опыты вы проделали сами и убедились, что все действительно так, как мы получили в наших опытах.

Формула для вычисления периода колебания математического маятника: , где  – длина маятника, а – ускорение свободного падения.

Формула для вычисления частоты колебаний: .

Рис. 4. Зависимость частоты и периода маятника от его длины

На этом лабораторная работа заканчивается, но есть дополнительная часть к лабораторной работе – дальнейшее исследование колебаний.

Ветка. Математическая зависимость между длиной маятника и периодом колебаний

Дополнительная часть лабораторной работы заключается в том, чтобы лучше определить взаимосвязь периода колебаний и длины нитяного маятника. Эта зависимость должна определяться математически.

Цель дополнительного задания в том, чтобы выявить математическую зависимость между периодом и длиной маятника. Как это можно сделать? Нужно рассмотреть отношение периодов колебаний маятника и отношение длин маятника.

Посмотрим на таблицу, которую используем, и обсудим те величины, которые будем туда заносить.

Далее рассмотрим отношение длин маятников. Обратите внимание: в первом случае это отношение равно 4, т. е. . Во втором случае – 9. В третьем случае – 16. Видно сразу, как будут связаны эти величины. Посмотрите: в первом случае у нас 2 и 4. В другом случае – 3 и 9 и т. д.

• Делаем вывод о том, что период будет пропорционален корню квадратному из длины маятника. Эту зависимость мы можем использовать в дальнейшем для анализа подобных колебаний: 
• Из этого следует, что период мы можем записать как  .

Другими словами, если мы увеличиваем длину маятника в 4 раза, то период увеличится в 2 раза. Если увеличим длину маятника в 3 раза, то увеличится период в  раз. И т. д. В этом и заключается результат лабораторной работы.

Список литературы

1. Аксенович Л.А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования/Л.А. Аксенович, Н.Н. Ракина, К.С. Фарино. Под ред. К.С. Фарино. – Минск.: Адукацыя i выхаванне, 2004.
2. Физика: механика. 10 кл.: учеб. для углубленного изучения физики/М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. Под ред. Г.Я. Мякишева. – М.: Дрофа, 2002. – 496 с.
3. Элементарный учебник физики. Под ред. Г.С. Ландсберга. Т. 3. – М., 1974.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Что такое математический маятник? Запишите формулу для периода такого маятника.
2. Один математический маятник имеет период 10 с, а другой – период 6 с. Определите период колебаний третьего математического маятника, длина которого равна разности длин указанных маятников.
3. Длина математического маятника 25 см. Определите период и частоту его колебаний на Земле.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/laboratornaya-rabota-issledovanie-kolebaniy-matematicheskogo-mayatnika-eryutkin-e-s

Механические колебания и волны – FIZI4KA

ЕГЭ 2018 по физике ›

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

• повторяемость движения;
• возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

• наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
• наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

• Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин. Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

• Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения. Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно! Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​( x )​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​( A )​ – амплитуда колебаний; ​( omega t+varphi_0 )​ – фаза колебаний; ​( omega )​ – циклическая частота; ​( varphi_0 )​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​( v )​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​( a )​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​( F )​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

• Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
• Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​( W_k )​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

1. Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
2. При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В положении равновесия:

• потенциальная энергия равна нулю;
• кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

• кинетическая энергия равна нулю;
• потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно! Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия. Обозначение – ​( A, (X_{max}) )​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени. Обозначение – ​( varphi )​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.

​( varphi_0 )​ – начальная фаза колебаний.

Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно! Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания. Обозначение – ​( T )​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени. Обозначение – ​(
u )​, единицы времени – с-1 или Гц (Герц).

• 1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:
• Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд. Обозначение – ​( omega )​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

• при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
• силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими. Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

1. Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
2. Период колебаний математического маятника:
3. Частота колебаний математического маятника:
4. Циклическая частота колебаний математического маятника:
5. Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:
6. Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:
7. Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:
8. Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:
9. Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:
10. Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​( h )​, определяется по формуле:
11. где ​( l )​ – длина нити, ​( alpha )​ – угол отклонения от вертикали.
12. Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.
13. Период колебаний пружинного маятника:
14. Частота колебаний пружинного маятника:
15. Циклическая частота колебаний пружинного маятника:
16. Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:
17. Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:
18. Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:
19. Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно! Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

• Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.
• Условие резонанса:
• ​( v_0 )​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением.

Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях. Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах. Обозначение – ​( lambda )​, единицы измерения – м.

1. Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.
2. Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

• наличие источника звука;
• наличие упругой среды между источником и приемником звука;
• наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
• мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

• инфразвук (​(
  u )​ < 16 Гц);
• звуковой диапазон (16 Гц < ( u ) < 20 000 Гц);
• ультразвук ((
  u ) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

• от упругих свойств среды:

• в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;
• в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с, в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.
• Характеристики звуковой волны

• Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
• Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
• Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны. Шум – хаотическая смесь тонов.

Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/mehanicheskie-kolebanija-i-volny-2.html

7.5. Математический и физический маятники

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:
M = FL .
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:

или

(7.8)

где и

(7.9)

Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

Физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

• Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
• Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

(7.10)

(7.11)

Решение этого уравнения

Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или

1. .
   Из этого соотношения определяем

Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Источник: https://physics-lectures.ru/mexanicheski-kolebaniya-i-volny/7-5-matematicheskij-i-fizicheskij-mayatniki/

Разница между волной и колебаниями

Волны и колебания – обычные явления в окружающем мире. Рассмотрим, что они собой представляют и чем отличается волна от колебаний.

Определение

Волна – возмущение, возникшее в какой-либо среде и распространяющееся в ней со временем.

Волны на воде

Колебания – движения возвратно-поступательного характера, совершаемые некоторым телом или частицами.

Колебания

Сравнение

И в том и в другом случае происходит процесс перемещения. Но отличие волны от колебаний заключается в характере такого движения.

Волне свойственно распространение на определенное расстояние относительно места ее возникновения. При этом наблюдается чередование максимальных и минимальных параметров (например, плотности или температуры).

В геометрическом изображении такого явления присутствуют гребни и понижения.

Волна может возникать в разных средах. Ее легко увидеть, например, бросив в воду тяжелый предмет. В толще земли действуют сейсмические волны, в воздухе – световые. Характерным свойством подобных возмущений, какова бы ни была их природа, является перемещение энергии из одной зоны в другую. Вещество же при этом, как правило, не переносится, хотя такой вариант не исключен.

Сам процесс осуществляется в ограниченном пространстве и характеризуется периодически повторяющимся изменением того состояния системы, которое она принимает относительно точки равновесия.

При механических колебаниях наблюдается перемещение вещества (маятник, качели, груз на пружине). При электромагнитных – передвигаются только частицы. В последнем случае примером будет процесс, происходящий в колебательном контуре.

Стоит отметить, что обсуждаемые явления не рассматриваются полностью изолированными друг от друга. Волну можно образно представить как «растянутое» колебание, в котором, при чередовании фаз, действует уже не одна материальная точка, а множество таких взаимосвязанных элементов.

Лучше понять, в чем разница между волной и колебаниями, поможет и следующий пример. Представим, что тело в механической системе под действием силы выводится из равновесия.

Возникает движение объекта с постоянной сменой направления, или колебание. В процесс вовлекается окружающая среда. Вещество в ней начинает сжиматься и разряжаться.

Возмущение распространяется с определенной скоростью все дальше от источника. Такой процесс уже является волновым.

Источник: https://TheDifference.ru/raznica-mezhdu-volnoj-i-kolebaniyami/